三角函数的性质中的疑难问题教学与复习策略思考

三角函数是高考数学中最重要的基本函数，是每年高考的必考内容，对三角函数的图象与性质问题的考查是高考命题的热点和重点，试题大多来源于教材，是例题、习题的变形或创新。试题主要以选择题的形式考查三角函数图象的对称轴、对称中心、单调性、最值等问题；或以解答题的形式综合考查三角恒等变换、平面向量等知识，综合性较强，此类问题把解析式化为形如y=Asin（x+φ）+B的一般式是解题的关键。 
　　例如：已知向量a=（cosx，），b=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=a·b. 
　　（1）求f（x）的最小正周期. 
　　（2）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值. 
　　学生在处理这类问题的时候经常会出现几个问题：首先无法依据题目提供的信息通过三角恒等变换转化成y=Asin（x+φ）+B的形式；其次是在解答三角函数问题的性质问题时，尤其是求限定区间上的最值问题时，由整体变量x+φ的范围，结合函数的图像求出函数的最值或值域，切忌把区间[a，b]的端点值代入函数解析式，简单地以为端点值即为最值，，这也是易错点，或者另一类学生虽懂得整体代换成x=x+φ，但却将题目给定的范围误以为是x的范围，反过来求解x的范围，这是另一个易错点。此题具体解法如下： 
　　解：（1）f（x）=a·b=cosx·sinx-cos2x=sin2x-cos2x=sin（2x-）。 
　　最小正周期T==π。 
　　所以f（x）=sin（2x-）最小正周期为π。 
　　（2）当x∈[0，]时，（2x-）∈[-，].由标准函数y=sinx在[-，]上的图象知， 
　　f（x）=sin（2x-）∈[f（-），f（）]=[-，1]. 
　　所以，f（x）在[0，]上的最大值和最小值分别为1，-. 
　　通过上面例题的解法，我们不难发现在解决这类问题时都有一些共性，因此在复习这一部分内容时可先抓住这些特征，在求解时即可有的放矢。如常需用到的变换公式有： 
　　①sinxcosx=sin2x； 
　　②降幂公式：cos2x=，sin2x= 
　　③辅助角公式：y=asinα+bcosα=sin（α+φ）（其中cosφ=，sinφ=）。利用以上公式将函数化为y=Asin（x+φ）+B的形式，再利用整体代换的思想令X=ωx+φ转化成y=AsinX+B，结合基本初等函数y=sinx的图象与性质解题。