2.2.3 独立重复试验与二项分布

【学习要求】1.理解n次独立重复试验的模型. 
　　2.理解二项分布. 
　　3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题. 
　　【学法指导】独立重复试验是研究随机现象的重要途径，二项分布是来自于独立重复试验的一个概率模型，学习中要把握它们的联系，掌握二项分布的特点. 
　　引入：分析下面的实验，它们有什么共同特点？ 
　　（1）某人射击1次，击中目标的概率是0.8，，他连续射击3次. 
　　（2）实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团队比赛，规定5局3胜制. 
　　（3）连续投掷一颗骰子3次. 
　　归纳：（1）每次试验是在相同条件下进行的；（2）各次试验的结果是相互独立的；（3）每次试验都只有两种结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中事件发生的概率均相等. 
　　新知：1.n次独立重复实验重复实验的定义：一般的，在相同条件下重复的n次实验称为n次独立重复实验. 
　　注意：“在相同的条件下”等价于各次实验的结果不会受其他实验结果的影响. 
　　在n次独立重复实验中，记Ai（i=1，2，3…n）是“第i次实验的结果”，显然Pi（A1A2A3…An）=P（A1）P（A2）P（A3）…P（An） 
　　探究：在（1）基础上.①第一次命中，后面两次不中的概率；②恰有一次命中的概率；③恰有两次命中的概率 
　　解：① 
　　② 
　　③ 
　　能不能用组合表示② 
　　③ 
　　推广到一般形式：n次射击实验命中k次的概率Pn（K）Ckn0.8k（1-0.8）n-k. 
　　2.独立重复实验的概率公式：一般的，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为P，则P（X=k）=CknPk（1-P）n-k，k=0，1，2…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～ ，并称P为 .它是二项式[（1-p）+p]n展开式的第k+1项.所以称这样的随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p）. 
　　例1.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人答对正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分. 
　　（1）求随机变量ξ的分布列；（2）设C表示事件“甲得2分，乙得1分”，求P（C）. 
　　练习：某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min. 
　　（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列. 
　　探究点：综合应用 
　　例2.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）. 
　　（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率.（2）求按比赛规则甲获胜的概率.
　　当堂练习： 
　　1.每次试验的成功率为p（0<p<1），重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为（ ）="" 　　A.C310p3（1-p）7 B.C310p3（1-p）3 C.p3（1-p）7 D.p7（1-p）3 
　　2.10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ） 
　　A.C310×0.72×0.3 B.C13×0.72×0.3 C. 3.甲乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采取三局两胜制还是五局三胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？ 
　　4.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并终止比赛） 
　　（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率. 
　　（2）求按比赛规则甲获胜的概率. 
　　（3）用X表示比赛场次，试求X的分布列. 
　　5.某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假设每盏灯能否正常照明只与灯泡的使用寿命有关，没型号的灯泡的使用寿命为1年以上的概率为P1，使用寿命为2年以上的概率为P2，从使用今日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. 
　　（1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率. 
　　（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中某一盏灯来说，求该盏灯需要换灯泡计时的概率.